Kako Fisherova z - transformacija pomaže u korelacijskoj analizi?

Bok tamo! Kao Fisherov dobavljač, iz prve sam ruke vidio kako Fisherovi proizvodi i statistički koncepti poput Fisherove z - transformacije igraju ključne uloge u različitim područjima. Danas ću se pozabaviti time kako Fisherova z - transformacija pomaže u analizi korelacije.

Razumijevanje korelacijske analize

Prvo, razgovarajmo malo o korelacijskoj analizi. Korelacija se odnosi na mjerenje odnosa između dviju varijabli. Za kvantificiranje ovog odnosa koristimo koeficijent korelacije, obično označen kao (r). Vrijednost (r) kreće se od -1 do +1. Vrijednost +1 označava savršen pozitivan linearni odnos, - 1 znači savršen negativan linearni odnos, a 0 implicira nepostojanje linearnog odnosa između varijabli.

Međutim, rad s koeficijentom korelacije (r) ima svoja ograničenja. Jedan od glavnih problema je da distribucija uzorka (r) nije normalna, posebno kada je veličina uzorka mala. Ova nenormalnost može otežati izvođenje statističkih zaključaka, poput testiranja hipoteza ili konstruiranja intervala pouzdanosti.

Unesite Fisherovu z - transformaciju

Ovdje je Fisherova z - transformacija korisna. Formula transformacije je (z=\frac{1}{2}\ln\lijevo(\frac{1 + r}{1 - r}\desno)), gdje je (\ln) prirodni logaritam.

Ljepota ove transformacije je u tome što pretvara nenormalnu distribuciju (r) u približno normalnu distribuciju. Ova aproksimacija postaje bolja kako se veličina uzorka povećava. Jednom kada imamo normalno distribuiranu varijablu, možemo koristiti dobro poznata svojstva normalne distribucije za statističku analizu.

Testiranje hipoteza

Recimo da želimo testirati je li koeficijent korelacije u populaciji ((\rho)) jednak određenoj vrijednosti. Na primjer, možda bismo htjeli testirati if (\rho = 0), što bi značilo da ne postoji linearni odnos između dvije varijable u populaciji.

Bez z - transformacije, testiranje ove hipoteze može biti prava muka zbog nenormalnosti (r). Ali kada transformiramo (r) u (z), možemo koristiti jednostavan z - test. Standardna pogreška (z) je približno (\frac{1}{\sqrt{n - 3}}), gdje je (n) veličina uzorka.

Izračunavamo z - statistiku za naš uzorak (z_{uzorak}) pomoću formule transformacije. Zatim je možemo usporediti s kritičnim vrijednostima iz standardne normalne distribucije kako bismo odredili trebamo li odbaciti ili ne odbaciti nultu hipotezu.

Intervali povjerenja

Drugi važan aspekt korelacijske analize je konstruiranje intervala pouzdanosti. Interval pouzdanosti daje nam raspon vrijednosti unutar kojeg će se vjerojatno nalaziti pravi populacijski koeficijent korelacije (\rho).

Da bismo konstruirali interval pouzdanosti za (\rho), najprije transformiramo koeficijent korelacije uzorka (r) u (z). Zatim izračunavamo interval pouzdanosti za (z) pomoću formule (z\pm z_{\alpha/2}\times\frac{1}{\sqrt{n - 3}}), gdje je (z_{\alpha/2}) kritična vrijednost iz standardne normalne distribucije koja odgovara željenoj razini pouzdanosti.

Nakon što dobijemo interval pouzdanosti za (z), transformiramo krajnje točke natrag u ljestvicu koeficijenata korelacije pomoću inverzne transformacije (r=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}). Na ovaj način dobivamo interval pouzdanosti za (\rho) koji uzima u obzir nenormalnost (r) na precizniji način.

Praktični primjeri u našim Fisher proizvodima

Sada, da vidimo kako se to odnosi na naše Fisher proizvode. UzmiFisher 655 aktuator. Pretpostavimo da želimo analizirati odnos između ulaznog signala u aktuator i izlaznog pomaka. Podatke o ove dvije varijable prikupljamo iz više testova.

Izračunavamo koeficijent korelacije (r) između ulaznog signala i izlaznog pomaka. Ali ako želimo izvesti zaključke o pravoj korelaciji u populaciji svih mogućih testova, koristimo Fisherovu z - transformaciju.

Recimo da to nađemo (r = 0,8) iz našeg uzorka. Transformiramo ga u (z=\frac{1}{2}\ln\lijevo(\frac{1 + 0,8}{1 - 0,8}\desno)\približno 1,099). Ako je veličina našeg uzorka (n = 20), standardna pogreška (z) je (\frac{1}{\sqrt{20 - 3}}\približno 0,243).

Ako želimo konstruirati 95% interval pouzdanosti za (z), kritična vrijednost (z_{\alpha/2}=1,96). Interval pouzdanosti za (z) je (1,099\pm1,96\times0,243=(0,62,1,58)). Transformirajući ove krajnje točke natrag u korelacijsku ljestvicu, dobivamo interval pouzdanosti za (\rho).

Slično, zaDvc2000 digitalni kontroler ventila, mogla bi nas zanimati korelacija između zadane vrijednosti i stvarnog položaja ventila. Fisherova z - transformacija pomaže nam točnije analizirati ovaj odnos i donijeti pouzdane zaključke.

TheSonda Fisher 846je još jedan proizvod kod kojeg korelacijska analiza sa z - transformacijom može biti korisna. Mogli bismo proučavati korelaciju između ulazne fizičke veličine (poput tlaka) i izlaznog električnog signala. Korištenjem Fisherove z - transformacije možemo bolje razumjeti odnos i donositi odluke na temelju statističkih dokaza.

Zaključak i poziv na akciju

Zaključno, Fisherova z - transformacija moćan je alat u korelacijskoj analizi. Njime se prevladava problem nenormalnosti koeficijenta korelacije (r), što nam omogućuje izvođenje testova hipoteza i točniju konstrukciju intervala pouzdanosti.

Bilo da radite s našim Fisher proizvodima kao što su Fisher 655 aktuator, Dvc2000 digitalni kontroler ventila ili Fisher 846 sonda, razumijevanje i primjena Fisherove z - transformacije može dovesti do bolje analize podataka i donošenja odluka.

Ako ste zainteresirani za kupnju naših Fisher proizvoda ili želite porazgovarati o tome kako se ovi statistički koncepti mogu primijeniti u vašim specifičnim scenarijima upotrebe, nemojte se ustručavati kontaktirati. Ovdje smo da vam pomognemo da najbolje iskoristite naše proizvode visoke kvalitete i najnovije statističke tehnike.

Reference

• Fisher, RA (1915). Distribucija učestalosti vrijednosti koeficijenta korelacije u uzorcima iz neograničeno velike populacije. Biometrika, 10(4), 507 - 521.
• Glass, GV i Hopkins, KD (1996). Statističke metode u obrazovanju i psihologiji. Allyn & Bacon.